Question

请问这道通过定积分求体积的题目红色圈起来的部分是怎么得出的？

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Answer 1

答：见下图：先看图2；这是这道题两式相减的原因。在做积分元的时候，黄色部分应该绕y轴旋转所形成立体图形的体积,积分区间在[B,A]; 但是，把橙色部分包含在立体图形里面了，因此必须减去这部分旋转体的体积，区间[C,B],才是所求。这就是你所提的问题。

第一个图，是不需要相减，直接求旋转体体积的方法。积分区间是[0,2aπ]。微分元是圆环，y是圆环的高度，dx是圆环的厚度，x是圆环的半径，2πx是圆环的周长，为了便于你的理解，我把这种积分方式也提出来，供你参考。以便于你选择不同的方法计算旋转体的积分。两种方法的答案肯定是一样的。原题选择的是圆盘积分（图2），图1选择的是圆环积分。因此，系数是不一样的，因为原题用的是圆的面积公式，图1用的是圆的周长公式。不明白的地方，可以提问。