Question

已知函数是偶函数,且其定义域为.求,的值;求函数在其定义域上的最大值.

已知函数是偶函数,且其定义域为. 求,的值; 求函数在其定义域上的最大值.

Answer 1

由已知函数是偶函数,且其定义域为.根据偶函数定义域关于原点对称,且偶函数的定义中恒成立,我们可以构造一个关于,的方程组,解方程组即可得到,的值.
由中,的值,我们易得到函数的解析式,分析函数的图象及性质,结合函数的定义域,易求出函数在其定义域上的最大值.
解:函数是偶函数,
函数的定义值关于原点对称,
又函数的定义域为.
,解得
又由
可得
由得函数的解析式为:,定义域为.
其图象是开口方向朝上,且以轴为对称轴的抛物线
当时,取最大值
本题考查的知识点是偶函数,函数的定义域及其求法,函数的最在大值,其中根据偶函数的定义和性质构造关于,的方程组,求出,的值,进而得到函数的解析式,是解答本题的关键.