Question

怎么求这个复变函数积分

Answer 1

这道题也是用留数定理求解，具体过程如下，望采纳

追问

这题不用留数定理可以做吗，就用柯西积分公式

追答

也可以的，见上图

追问

我懂了，对于极点在曲线内部的情况，就要先挖掉这些点，然后再用柯西公式算这些被挖掉的区域的积分

追答

嗯是的

Answer 2

解法一：用留数定理
f(z)=(2z+3)/(z^3-3z^2+2z)=(2z+3)/z(z-1)(z-2)
极点有3个，分别为z=0，z=1，z=2，都在|z|<=4范围内
Resf(0)=lim(z->0) zf(z)=lim(z->0) (2z+3)/(z-1)(z-2)=3/2
Resf(1)=lim(z->1) (z-1)f(z)=lim(z->1) (2z+3)/z(z-2)=-5
Resf(2)=lim(z->2) (z-2)f(z)=lim(z->2) (2z+3)/z(z-1)=7/2
原式=2πi*[Resf(0)+Resf(1)+Resf(2)]=2πi*(3/2-5+7/2)=0
解法二：用复数的指数形式
因为|z|=4，则令z=4e^(it)，其中0<=t<2π，dz=4ie^(it)dt
原式=∫(0,2π) {[8e^(it)+3]/[64e^(3it)-48e^(2it)+8e^(it)]}*4ie^(it)dt
=(i/2)*∫(0,2π) [8e^(it)+3]/[8e^(2it)-6e^(it)+1]dt
=(i/2)*∫(0,2π) [8e^(it)+3]/[4e^(it)-1][2e^(it)-1]dt
=(i/2)*∫(0,2π) 7/[2e^(it)-1]dt-(i/2)*∫(0,2π) 10/[4e^(it)-1]dt
=(7i/2)*∫(0,2π) e^(-it)/[2-e^(-it)]dt-(5i)*∫(0,2π) e^(-it)/[4-e^(-it)]dt
=(7/2)*∫(0,2π) d[2-e^(-it)]/[2-e^(-it)]-5*∫(0,2π) d[4-e^(-it)]/[4-e^(-it)]
=[(7/2)*ln|2-e^(-it)|-5*ln|4-e^(-it)|]|(0,2π)
=0
解法三：用柯西积分公式
令f(z)=(2z+3)/(z^3-3z^2+2z)=(2z+3)/z(z-1)(z-2)
因为f(z)在复平面内的不解析点为z=0，z=1和z=2，都在简单闭曲线|z|=4内部
所以根据柯西积分公式，原式=0

追问

可以不用留数定理，用柯西积分公式做吗

追答

可以用柯西积分公式的，见解法三

追问

不解析点都在闭曲线内部，就可以得出积分为0？

追答

对的

追问

不是还有被挖掉的那些区域吗？极点在曲线内部不是不能直接用柯西公式吗，要另外计算这些被挖掉的区域

追答

那三个挖掉的洞加起来正好是0