Question

雅克比行列式是什么？

Answer 1

雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。 

若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式；这常用于重积分的计算中。

面积元证明：

二维下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立。

证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),这个曲边四边形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成。

利用中值定理可知：(u+△u,v)-(u,v)=Mdu(u,v+△v)-(u,v)=Ndv式中M，N为偏导数形式，可以通过简单计算得出。

当变化量很小时，将(u+△u,v)-(u,v)近似看为dx(u,v)(u,v+△v)-(u,v)近似看为dy(u,v)，故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv式中M*N为二维Jacobi行列式的展开形式。