Question

证明:连续奇函数的一切原函数为偶函数，连续偶函数的原函数中有一个为奇函数。

Answer 1

设f(x)的原函数为F(x)

F(-x)=∫[0,-x]f(t)dt+F(0)（设u=-t）

=-∫[0,x]f(-u)du+F(0)

若f(x)为奇函数，则

F(-x)=∫[0,x]f(u)du+F(0)=F(x)

即F(x)为偶函数

若f(x)为偶函数，则

F(-x)=-∫[0,x]f(u)du+F(0)=-F(x)+2F(0)

当F(0)=0时为奇函数（也就是在原函数F(x)+C中取C=-F(0)）

因此只有一个。

扩展资料

在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。

参考资料来源：百度百科—偶函数

参考资料来源：百度百科—奇函数

Answer 2

设f(x)的原函数为F(x)
F(-x)=∫[0,-x]f(t)dt+F(0)（设u=-t）
=-∫[0,x]f(-u)du+F(0)
若f(x)为奇函数，则
F(-x)=∫[0,x]f(u)du+F(0)=F(x)
即F(x)为偶函数
若f(x)为偶函数，则
F(-x)=-∫[0,x]f(u)du+F(0)=-F(x)+2F(0)
当F(0)=0时为奇函数（也就是在原函数F(x)+C中取C=-F(0)）
因此只有一个