Question

13.若级数 an(x-2)^n 在点 x=0 处条件收敛,则在 x=-1 ,x=2 ,x=3 ？

Answer 1

根据柯西收敛原理，若级数 $\sum{n=1}^{\infty}an(x-2)^n$ 在 $x=0$ 处条件收敛，则当 $|x-2|<1$ 时，级数绝对收敛，即 $\sum{n=1}^{\infty}|an(x-2)^n|$ 收敛。
考虑 $x=-1$，此时 $|x-2|=3>1$，级数不一定收敛。
考虑 $x=2$，此时 $|x-2|=0$，级数在该点收敛。
考虑 $x=3$，此时 $|x-2|=1$，级数可能收敛也可能发散，需要进一步判断。由于 $\sum{n=1}^{\infty}an(x-2)^n$ 在 $x=0$ 处条件收敛，因此根据柯西-阿达玛定理，级数的收敛半径为 $R=\frac{1}{\limsup\limits{n\to\infty}\sqrt[n]{|an|}}$。若 $|x-2|=1$，则 $(x-2)^n$ 的模长为 $1$，因此级数的收敛性只与 $an$ 的大小有关。若 $\limsup\limits{n\to\infty}\sqrt[n]{|an|}<1$，则级数在 $x=3$ 处绝对收敛，即收敛；若 $\limsup\limits{n\to\infty}\sqrt[n]{|an|}>1$，则级数在 $x=3$ 处发散；若 $\limsup\limits{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1$，则需进一步判断。
综上所述，级数在 $x=-1$ 处发散，在 $x=2$ 处收敛，在 $x=3$ 处可能收敛也可能发散，具体要看 $\limsup\limits{n\to\infty}\sqrt[n]{|an|}$ 的大小。