Question

A、B是同型矩阵，如何证明他们的秩r(A+B)≤r(A,B)≤r(A)+r(B)?

Answer 1

设A的秩为k，则设a1...ak为它列向量的极大无关组
设B的秩为l，则设b1....bl为他它列向量的极大无关组
那么r(A,B)=r(a1....ak,b1...bl)<=k+l =r(A)+r(B)

而A+B的每一个向量，都能被(A，B)中的向量线性表示，所以r(A+B)≤r(A,B)

具体的在参考资料中 打开有点慢，

Answer 2

向量组①可以有向量组②线性表出，则②的秩要大于等于①的秩序
假设向量组①构成矩阵A，向量组②构成矩阵B，则存在矩阵C使得
A=BC
所以r(A)=r(BC)<=r(B)