Question

等腰三角形角平分线定理

Answer 1

等腰三角形角平分线定理如下：

等腰三角形是指两条边相等的三角形。在等腰三角形中，有一条特殊的直线，它将等腰三角形的顶点上的角平分成两个相等的角。这条直线就是角平分线。下面我们将重点介绍等腰三角形的角平分线定理。

等腰三角形的角平分线定理是指，在等腰三角形中，连结等腰边与底边中点的线段即可得到一条既是底边中线，又是顶点对应角的角平分线的直线。

具体来说，设等腰三角形ABC中，AB=AC，且D为线段BC的中点，如图所示。则AD既是角BAC的角平分线，又是边BC的中线。

证明如下：

首先，由于线段BD=DC，所以点D在中垂线BM上，同时也在中垂线CN上，即MD=MD，ND=ND。又因为∠ADB=∠ADC=90°，所以AADB和AADc均为直角四边形，从而可以得到AB=AD，AC=AD。

其次，尝试用角度证明AD是角BAC的角平分线。由于AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，设∠ABC=x，则∠ACB=x。

另一方面，根据直角三角形的性质，可以得到∠ADB=90°-∠BAC，∠ADC=90°-∠BAC。将两式相加可得：∠ADB+∠ADC=180°-2∠BAC，即∠BAC=(1/2)(∠ADB+∠ADC)。

因此，在等腰三角形ABC中，连结等腰边与底边中点的线段AD，既满足AB=AD，AC=AD，又满足∠BAC=(1/2)(∠ADB+∠ADC)，故AD即为角BAC的角平分线，也同时是边BC的中线。

值得注意的是，等腰三角形中的角平分线有一些重要的性质。比如说，等腰三角形的底边上的高和底边上的中线、顶点与底边间的角平分线三者相互作用，能够构成许多有趣的图形。

此外，等腰三角形的角平分线还可以应用到各种几何问题中，比如证明求解三角形中心的坐标等等。

总之，角平分线定理是说明等腰三角形内角平分线与三角形中的其他重要直线之间的关系，对于深入理解等腰三角形及其性质具有重要意义。