Question

抛物线z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最短距离和最长距离

Answer 1

这个题目有很强的对称性，可先求出原点到椭圆所在平面的距离S和垂足E，由于
x+y+z=1在三个座标轴上的截距都是1，所以可以很快写出垂足的坐标E(1/3,1/3,1/3)
S=sqrt(3)/3
sqrt表示根号，做图还可以看出椭圆中心点F(0,0,3)
根据对称性还可以得出D点在椭圆的对称轴上，椭圆的顶点可以用三个式子y=x(柱面)和z=x^2+y^2和x+y+z=1解方程得两组解即两个点，就可以算出长半轴的长，同理用三个式子y=-x和z=x^2+y^2和x+y+z=1算出短半轴，然后就根据以上所求数据求E点到椭圆的最长最短距离m,n，E点和椭圆在同一个平面上，这样就把空间一点到椭圆的距离转化为平面上点到椭圆的距离，最后原点到椭圆的最短最长距离M=sqrt(S^2+m^2)
N=sqrt(S^2+n^2)
我用手机打的，过程你自己写吧！

Answer 2

不能消去z，得到一个关于x,y的圆的方程做！

因为消去z得到的关于x,y的圆的方程是椭圆在xy平面的投影，自然你用x,y的圆的方程所求的最长距离和最短距离
就不是
原点到这椭圆的最长距离和最短距离。
解：

以d记为原点到点(x,y,z)的距离，则：d^2=x^2+y^2+z^2。问题相当于求条件极值：

max
d^2
,
z=x^2+y^2
,x+y+z=1
.

作拉格朗日函数l=x^2+y^2+z^2+λ(x^2+y^2-z)+μ(x+y+z-1)
可求得方程组：

lx=2(λ+1)x+μ=0

①;

( lx表示对x求偏导)
；

ly=2(λ+1)y+μ=0

②;

( ly表示对x求偏导)；

lz=2z-λ+μ=0

③;

( lz表示对x求偏导)；

x^2+y^2-z=0

④;

x+y+z-1=0

⑤;
联立小曲λ，μ可解得：

x=y=(-1+√3)/2

;

z=2-√3
；

或者
x=y=(-1-√3)/2

;

z=2+√3
；
于是可求得：

dmax=√(9+5√3)

;

dmin=√(9-5√3)
。