Question

定义域在R上的函数Y=F(X),f(x)≠0，当X＞0时，f(x)＞1,且对任意的a,b属于R, 有 F(a+b)=f(a)·f(b)

1,证明：f(0)=1
2,证明：对任意的x属于R,恒有f(x)＞0
3，证明：f(x)是R上的增函数
4：若f(x)·f(2x-x^2)＞1,求X的取值范围
要快 ， 现在就要 ， 详解

Answer 1

(1)
f(a+b)=f(a)•f(b).令a=1,b=0.
f(1)=f(1)*f(0),由已知f(1)>1.
所以f(0)=1.
(2)
当x>0时，f(x)>1>0.
当x<0时，-x>0
f(x+(-x))=f(x)f(-x).
f(x)=1/f(-x)>0,又f(0)=1>0
综上可知，对任意的x属于R,恒有f(x)＞0
(3)
任取实数x1,x2,且x1>x2,
则x1-x2>0, f(x1-x2)> 1.
因为对任意的a,b属于R, 有 f(a+b)=f(a)•f(b)
所以f(x1)=f(x2)•f(x1-x2)
对任意的x属于R,恒有f(x)＞0,所以f(x2)•f(x1-x2) > f(x2)
即f(x1)>f(x2).
∴f(x)是R上的增函数。
(4)
f(x)•f(2x-x^2)＞1,
即f(x+(2x-x^2))>f(0),
∵f(x)是R上的增函数
∴x+(2x-x^2) >0
x^2-3x<0, 0<x<3.

Answer 2

应该是这样的、

(1)
f(a+b)=f(a)•f(b).令a=1,b=0.
f(1)=f(1)*f(0),由已知f(1)>1.
所以f(0)=1.
(2)
当x>0时，f(x)>1>0.
当x<0时，-x>0
f(x+(-x))=f(x)f(-x).
f(x)=1/f(-x)>0,又f(0)=1>0
综上可知，对任意的x属于R,恒有f(x)＞0
(3)
任取实数x1,x2,且x1>x2,
则x1-x2>0, f(x1-x2)> 1.
因为对任意的a,b属于R, 有 f(a+b)=f(a)•f(b)
所以f(x1)=f(x2)•f(x1-x2)
对任意的x属于R,恒有f(x)＞0,所以f(x2)•f(x1-x2) > f(x2)
即f(x1)>f(x2).
∴f(x)是R上的增函数。
(4)
f(x)•f(2x-x^2)＞1,
即f(x+(2x-x^2))>f(0),
∵f(x)是R上的增函数
∴x+(2x-x^2) >0
x^2-3x<0, 0<x<3.