Question

圆的方程的一道题

Answer 1

直线l的斜率k=1，则设直线l的方程为：y=x+b
圆C的方程为：x^2+y^2-2x+4y-4=0
则：x^2+(x+b)^2-2x+4(x+b)-4=0
即：2x^2+2(b+1)x+b^2+4b-4=0
所以：
x1+x2=-b/a=-2(b+1)/2=-(b+1)
x1*x2=c/a=(b^2+4b-4)/2
y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=(x1+x2)+2b=-b-1+2b=b-1
所以，AB中点，即圆心坐标为O(-(b+1)/2,(b-1)/2)
又，AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√[(x1-x2)^2+(x1+b-x2-b)^2]
=√[2(x1-x2)^2]
=√{2*[(x1+x2)^2-4x1x2]}
=√{2*[(b+1)^2-2(b^2+4b-4)]}
=√{2*[b^2+2b+1-2b^2-8b+8]}
=√[2*(-b^2-6b+9)]
而，AB=2r
所以：r=√[2*(-b^2-6b+9)]/2
因为圆经过原点(0,0)，则圆心与原点之间的距离就等于圆的半径
圆心与原点之间的距离d=√{[(b+1)/2]^2+[(b-1)/2]^2]}
=√[(b^2+2b+1+b^2-2b+1)/4]
=√[2*(b^2+1)]/2
所以：√[2*(-b^2-6b+9)]/2=√[2*(b^2+1)]/2
解得：
b=1或者b=-4
则，直线l的方程为：
y=x+1
或者，y=x-4