Question

高一数学【线面垂直问题】

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，PA=AD，M，N分别是AB，PC的中点。
求证MN⊥面PCD。

Answer 1

取PD的中点E，连接AE、NE
因为，E、N分别是PD、PC的中点
所以，EN平行且等于CD的1/2
又因，CD平行且等于AB
所以，EN平行且等于AB的1/2
因为，M是AB的中点
所以，EN平行且等于AM
所以，四边形AMNE是平行四边形，MN//AE
又因，PA=AD、E是PD中点
所以，AE⊥PD 所以，MN⊥PD
因为，PA⊥面ABCD 所以，PA⊥CD
又因，AD⊥CD 所以，CD⊥面ADP(如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面)（汗，没记错吧- -N年没做几何题了……）
所以，CD⊥AE（如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面里的任何一条直线都垂直）
所以，CD⊥MN
前面已证出，PD⊥MN
所以，MN⊥面PCD

Answer 2

打不出线属于面那个符号，我统一用∈代替了……
取PD中点E，连结AE、NE
易证出AE‖MN
∵PA⊥面AC，AD⊥CD
∴PD⊥CD（三垂线定理）
∴CD⊥面PAD
∴CD⊥AE，即CD⊥MN
又PA=AD，E是PD中点
∴AE⊥PD，即MN⊥PD
∴MN⊥面PCD