Question

直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交与点B，以线段AB为直径作圆C，抛物线y=ax的平方+bx+c过A，C，O三点。 1.

1.求点C的坐标和抛物线的解析式。2.过点B作直线与x轴交于点D，且OB的平方=OA*OD，求证DB时圆C的切线。3.抛物线上是否存在一点P，使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P

Answer 1

1) 因为过原点O，所以设Y2=AX平方+BX。由直线Y1＝－X+6，可知点A为（6，0）。点C为AB的中点，故点C为（3，3）。然后将点A，点C带入所设方程Y2＝AX平方+BX,可以得出A为负3分之1，B为2 .Y2= -1/3X平方+2X。
2）要证明BD是圆C切线，只要证明AB垂直于DB即可，由题可知OB平方＝OA*OD,又因为OB=OA，所以OD＝OB＝OA，DB为圆C切线（直线DB方程为Y3= X +6) 。
3）P在抛物线上有2种情况，因为是直角梯形，所以OP1必然平行于AB,或者AP2也平行于BD，我们已经知道直线AB的方程，Y1= -X+6, 直线DB方程为Y3= X +6， 以及抛物线Y2= -1/3X平方+2X。将直线OP1方程为Y4＝ -X和抛物线连列可以得出点P为（9，—9）, 设AP2为Y5＝ X+B，因为过点A，所以Y5= X - 6,然后与抛物线连列方程，可以得出P为（ －3，－9)。所以P为（9，－9）和（－3，－9）。（解方程中注意取舍答案）