Question

设函数f（x）是定义在（0，+ ∞）上的函数，并且满足下面三个条件：

1，对任意的正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y） 2，当x>1时，f（x）<0 3，f(3)=-1 求f（1）和f（1/9）的值 如果不等式f（x）+f(2-x)<2成立，求x的取值范围 如果存在正数k，使不等式f（kx）+f(2-x)<2有解，求正数k的取值范围

Answer 1

在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=1,可得f(1)=0.
从f（xy）=f（x）+f（y）中令y=x^{n-1}可得
f(x^n)=f(x^{n-1})+f(x)=f(x^{n-2})+2f(x)=f(x^{n-3})+3f(x)=...=nf(x),即
f(x^n)=nf(x);
在上式中令y=x^n,可得f(y^{1/n})=(1/n)f(x).
在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=1/x,可得f(1/x)=-f(x).
从而，f(1/9)=-f(9)=-f(3^2)=-2f(3)=2.
设0<x1<x2,则由于x2/x1>1,根据条件可得f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)<0,即f(x)为严格单调减函数。
如果不等式f（x）+f(2-x)<2成立,则可知0<x<2且有f(x(2-x))<2=f(1/9).从而x(2-x)>1/9,由此推出
1-10^{1/2}/3<x<1+10^{1/2}/3,
从而有0<x<2.
同理可知，当k>0时，f（kx）+f(2-x)<2都有解。