Question

设矩阵a=,已知α=是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 ( ).(

设A为可逆阵,λ为A的一个特征值,对应的特征向量为α,（1）求A*的一个特征值及其对应的特征向量；
（2）求P-1AP的一个特征值及其对应的特征向量

Answer 1

综述如下：

由已知Aα＝λα，α≠0

(1)等式两边左乘A*,得A*Aα＝λA*α

所以｜A|α＝λA*α

由于A可逆，所以λ≠0,所以（|A|/λ）α＝A*α

即｜A|/λ是A*的特征值，α是对应的特征向量；

(2)由Aα＝λα得P^-1AP(P^-1α）＝λP^-1α

所以λ是P^-1AP的特征值，P^-1α是对应的特征向量。

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵简介

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

Answer 2

由已知 Aα=λα,α≠0
(1) 等式两边左乘A*,得 A*Aα=λA*α
所以 |A|α=λA*α
由于A可逆,所以λ≠0,所以 (|A|/λ)α=A*α
即|A|/λ是A*的特征值,α是对应的特征向量
(2) 由 Aα=λα 得 P^-1AP(P^-1α)=λP^-1α
所以λ是P^-1AP的特征值,P^-1α是对应的特征向量