Question

初三几何题

（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°。求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形。
（2）已知：如图2，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、EB、AD能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数。
（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值

Answer 1

1、如图所示：

做CF垂直CD且CF=CD，连接EF,BF；

三角形CDE≌CEF（CD=CF,CE=CE,∠DCE=ECF=45），则DE=EF，

三角形ACD≌BCF（AC=BC,CD=CF,角ACD+DCB=DCB+BCF=90，即角ACD=BCF）,则AD=BF,角CBF=CAD=45;

则角FBE=45+45=90;即线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；

2、加入一个条件为：AD=BE；

做CF=CD,且角DCF=60；

则三角形CDE≌CEF（CD=CF,CE=CE,∠DCE=ECF=30），则DE=EF

三角形ACD≌BCF（AC=BC,CD=CF,角ACD+DCB=DCB+BCF=60，即角ACD=BCF）,则AD=BF,角CBF=CAD=60;

等腰三角形BEF中BE=BF，顶角=60+60=120；

3、 在三角形ACE和CDE中

 因角DCE=CAB=45°,CED是公用角

则ACE∽CDE

得到： AE:CE=AC:CD——1

同理：在三角形BCD和CDE中

因角CBD=DCE=45°,CBD是公用角

则ECD∽CDE

得到： BC:CE=DB:CD——2

1:2得：AE:BC=AC:DB

即   AC*BC=AE*DB

由于AC=BC

所以，AC²=AE*BD 

因AB=10，所以AC²=AB²/2=50