Question

高二 已知函数Fx=（1-x）/ax+lnx 当a=1/2时

已知函数Fx=(1-x)/ax+lnx
（I）当a=1/2时，求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（II）若函数g（x）=f（x）-1/4x在[1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围．

Answer 1

(I)f(x)=2(1-x)/x+lnx=2/x-2+lnx,x>0,
f'(x)=-2/x^2+1/x=(x-2)/x^2,
0<x<2时f'(x)<0,x>2时f'(x)>0,
f(x)|min=f(2)=-1+ln2,
f(1)=0,f(e)=2/e-1<0,
∴f（x）在[1，e]上的最大值是0.
（II)g(x)=(1-x)/(ax)+lnx-x/4,
g'(x)=(-x-1+x)/(ax^2)+1/x-1/4=(-ax^2+4ax-4)/(4ax^2),
g(x)在[1，e]上为增函数,
<==>g'(x)>=0在[1,e]上成立，a>0,设h(x)=-ax^2+4ax-4,
<==>h(1)=3a-4>=0,且h(e)=a(4e-e^2)-4>=0,
<==>a>=4/3,且a>=4/(4e-e^2)≈1.15，
<==>a>=4/3,为所求.