Question

二次函数y=x²+bx+c图像过点A（-3，0）和点B（1，0）且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是-2

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标.
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PA+PD的值最小？如果存在，请求出点P的坐标及PA+PD的最小值，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

⑴由己知条件得
y＝﹙x＋3﹚﹙x－1﹚
即 y＝x²＋2x－3；
当x＝﹣2时，y＝﹣3，
因此D﹙﹣2，﹣3﹚；
⑵ 存在。
由y＝x²＋2x－3；
得y＝﹙x＋1﹚²－4，
因此对称轴x＝﹣1，
点A﹙﹣3，0﹚关于x＝﹣1的对称点B﹙1，0﹚，
直线BD与x＝﹣1的交点就是所求的点P，
PA+PD的最小值就是线段BD的长，
易求BD＝3√2。

Answer 2

0=9-3b+c...(1)
0=1+b+c....(2)
由(1)(2)得b=-2
c=1
(1)y=x^2-2x+1
y=4+4+1=9
所以 D(-2,9)
(2)y=(x-1)^2 对称轴x=1
P(1,k)
P点AD的连线上.