Question

计算三重积分∫∫∫(x+y+z)dv,其中Ω是由平面z=h及曲面x^2+y^2=z^2

计算三重积分∫∫∫(x+y+z)dv,其中Ω是由平面z=h及曲面x^2+y^2=z^2(h>0)所围成的区域

Answer 1

解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,h>rdr∫<r,h>(rcosθ+rsinθ+z)dz (作柱面坐标变换)
=∫<0,2π>dθ∫<0,h>r[h^2/2+h(cosθ+sinθ)r-(cosθ+sinθ+1/2)r^2]dr
=∫<0,2π>dθ∫<0,h>[h^2r/2+h(cosθ+sinθ)r^2-(cosθ+sinθ+1/2)r^3]dr
=∫<0,2π>h^4[1/8+(cosθ+sinθ)/12]dθ
=h^4(π/4)
=πh^4/4。

Answer 2