Question

已知函数f(x)=2x³+ax²+bx+1，若函数y=f'(x)的图像关于直线x=-1/2对称

Answer 1

1.
f'(x)=6x^2+2ax+b
由对称轴为x=-1/2，对称轴为直线x=-b/2a,
得-2a/12 =-1/2 a=3
所以f'(x)=6x^2+6x+b
由f'(1)=6+6+b=0 b=-12
所以f(x)=2x^3+3x^2-12x+1
2.
令f'(x)=0=x^2+x-2=0
(x-1)(x+2)=0 解得x=1 x=-2
显然x>1时 f'(x)>0 -2<x<1时 f'(x)<0 x<-2时 f'(x)>0
所以1 -2为极值点横坐标
代入f(1)=-6
f(-2)=-16+12+24+1=21
显然-6为极小值 21为极大值
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