Question

知道收敛区间后怎么求收敛半径

Answer 1

如果x是一次的，就是最基本的形式，就直接用 不计x的第n+1项u(n+1) 除以 不计x的第n项u(n) (n→∞)，即ρ=lim(n→∞) u(n+1)/u(n)【这个u是不包括x的】，半径R=1/ρ
如果x不是一次的，那ρ=lim(n→∞) | u(n+1)/u(n) |【这个u是包括x的】，这样计算出来的u应该是包含了x的几次幂的，然后这个算出来的绝对值也就是ρ要小于1，原理和之前的审敛法一样，ρ<1级数是收敛的。计算出来的x的取值范围就是收敛区间。
当然，上述两种情况算出来的还不能叫区间，因为端点都是要特别讨论的。
举例
1.Σx/2^n
ρ=lim(n→∞) [1/2^(n+1)]/[1/2^n]=1/2<1 所以级数收敛，R=1/ρ=2，然后单独讨论端点…
2.Σx^n/2^n
ρ=lim(n→∞) | [x^(n+1)/2^(n+1)]/(x*n/2^n) |=| x/2 |
令ρ<1，则| x/2 |<1，即-1<x/2<1，所以-2<x<2，再单独讨论端点（这种x不是一次方的情况一般不会问收敛半径的，因为ρ经常算出来不是关于0点对称的，我举得例子是太简单了…= =如果真要求的话，就还是1/ρ，比如这题就是2）
打字不易，如满意，望采纳。

追问

你看一下例一，收敛区间是出来了，他就直接说收敛半径是2这是为什么呢