Question

已知椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点分别为F 1 （-c，0）和F 2 （c，0）（c>0），过点E（ ，0）的直线与

已知椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点分别为F 1 （-c，0）和F 2 （c，0）（c>0），过点E（ ，0）的直线与椭圆相交于A、B两点，且F 1 A∥F 2 B，|F 1 A|=2|F 2 B|.（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F 2 B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF 1 C的外接圆上，求 的值。

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Answer 1

解：（1）由F 1 A∥F 2 B且|F 1 A|=2|F 2 B|，得 从而 整理，得a 2 =3c 2 故离心率 ； （2）由（1），得 所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为 即 由已知设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则它们的坐标满足方程组 消去y并整理，得 依题意， 而 由题设知，点B为线段AE的中点，所以x 1 +3c=2x  ③ 联立①③解得 将x 1 、x 2 代入②中，解得 ； （3）由（2）可知 当 时，得 由已知得 线段AF 1 的垂直平分线l的方程为 直线l与x轴的交点 是△AF 1 C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 直线F 2 B的方程为 于是点H（m，n）满足方程组 由m≠0，解得 故 当 时，同理可得 。