Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，
又∠ACB=90°，
即AC⊥BC．
如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz．A（2，0，0），B₁（0，2，2），E（1，1，0），A₁（2，0，2），
∴

AB1

＝(?2， 2， 2)，

CE

＝ (1， 1， 0)，

CA1

＝ (2， 0， 2)．
又因为 

AB1

?  

CE

＝0，

AB1

?  

CA1

＝0，
∴AB₁⊥CE，AB₁⊥CA₁，AB₁⊥平面A₁CE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，

AB1

＝(?2， 2， 2)是平面A₁CE的法向量，