Question

（2010?宜春模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC1=4，E在BB1上，且EB1=1，D

（2010?宜春模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC1=4，E在BB1上，且EB1=1，D、F分别为CC1、A1C1的中点．（1）求证：B1D⊥平面ABD；（2）求异面直线BD与EF所成的角；（3）求点F到平面ABD的距离．

Answer 1

解答：证明：（1）由条件得DB＝2

2

，DB1＝2

2

，BB1＝4
∴BD²+DB₁²=BB₁²
∴B₁D⊥DB，
又AB⊥面BCC₁B₁，
∴BA⊥B₁D
∴B₁D⊥面ABD（3分）
解：（2）取B₁C₁的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，
∴∠GEF或其补角为BD、EF所成角（4分）
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，GF∥A₁B₁∴FG⊥面BCC₁B₁，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，GE＝

2

，GF＝2，∴tan∠GEF＝

2

∴BD与EF所成角为arctan

2

（8分）
（3）设F到面ABD的距离为d，过B作BH⊥AC于H，则BH⊥面ACC₁A₁
∵V_F-ABD=V_B-DAF，∴

1

3

?S△ABD?d＝

1

3

?S△ADF?BH
∴

1

3

?

1

2

?4?2

2

?d＝

1

3

?(4?2

5

?

1

2

?2?2

5

?

1

2

?4?

5

?

1

2

?2

5

)?

2?4

2 5

∴d＝

3 2

2

（12分）