Question

已知圆C：（x-1）2+（y-3）2=4，过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点（1）若弦AB的长为22，求直线l的方程

已知圆C：（x-1）2+（y-3）2=4，过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点（1）若弦AB的长为22，求直线l的方程；（2）求证：OA?OB为定值．

Answer 1

（1）设直线方程y=kx，所以(

|k?3|

1+k2

)2+(

2

)2＝4，…（3分）
解得k=1或k=-7
所以直线方程为y=x或y=-7x…（5分）
（2）当k不存在时，直线为x=0，此时

OA

?

OB

＝6…（6分）
当k存在时，设直线y=kx，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y＝kx (x?1)2+(y?3)2＝4

消y得（1+k²）x²-（6k+2）x+6=0，…（7分）

OA

?

OB

＝x1x2+y1y2＝x1x2+k2x1x2＝(1+k2)x1x2，
由x1x2＝

6

1+k2

所以

OA

?

OB

＝6
综上：

OA

?

OB

＝6…（11分）