Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a,

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a,b]∈D，使f（x）在[a,b]上的值域为[a,b]，那么把函数y=f（x）（x∈D）叫做“同族函数”。 （1）求“同族函数"y=x²(x≥0）符合条件②的区间[a,b] ②是否存在

Answer 1

解：(1)、∵y=-x³是[a，b]上的减函数
∴f(a)=-a³=b
f(b)=-b³=a
∴a/b=±1
又∵－a³=b，
∴a=-1，b=1
∴所求区间为[－1，1]
(2)、∵f′(x)=3/4-1/x²，x∈（0，＋∞），
令f′(x)=3/4-1/x²＞0，得x＞(2/3)根号3
∴x＞(2/3)根号3时，f(x)为（(2/3)根号3 ，＋∞）上的增函数。
令f′(x)=3/4-1/x²＜0，得0＜x＜(2/3)根号3
∴f（x）为（0，(2/3)根号3 ）上的减函数．
∴f（x）不是（0，＋∞）上的单调函数．
∴f（x）不是（0，＋∞）上的闭函数．
(3)、易知f(x)=k+根号(x+2)是[－2，＋∞〕上的增函数．且f(x)≥k
设f(x）=k＋根号(x+2)满足条件②的区间是[a，b]
则f(a）=a,f(b）=b，由此可知
方程f(x）=x的两根是a，b，且a≠b
整理方程f(x）=x得
x²-(2k+1)x+k²-2=0
判别式＞0(方程有两不相等的实根)，解得k＞-9/4
方程的小根（求根公式）≥k（根据函数值域），解得-9/4≤k≤-2
方程的小根（求根公式）≥-2（根据定义域），解得k≥-9/4
以上三个k的取值范围取交集得-9/4＜k≤-2
综上，函数y=k+根号(x+2)为闭函数，k的取值范围是-9/4＜k≤-2