Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上。∠ACB=∠EDF

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上。∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm。如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动。DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）。解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm 2 ），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。（图（3）供同学们做题使用）

Answer 1

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上， ∴AP=AQ， ∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°， ∴∠EQC=45°， ∴∠DEF=∠EQC， ∴CE=CQ， 由题意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t， ∴AQ=8-t， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm， 则AP=10-2t， ∴10-2t=8-t， 解得：t=2， 答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上； （2）过P作PM⊥BE，交BE于M， ∴∠BMP=90°， 在Rt△ABC和Rt△BPM中， ， ∴ ， ∴PM= ， ∵BC=6cm，CE=t， ∴BE=6-t， ∴y=S △ABC -S △BPE = = ， ∵ ， ∴抛物线开口向上， ∴当t=3时，y 最小 = ， 答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 cm 2 ； （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上， 过P作PN⊥AC，交AC于N， ∴ ， ∵ ， ∴△PAN∽△BAC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵NQ=AQ-AN， ∴ ， ∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上， ∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ， ∵∠FQC=∠PQN， ∴△QCF∽△QNP， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得：t=1， 答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上。