Question

（2013年四川自贡10分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OB

（2013年四川自贡10分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB= cm． （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）





Answer 1

解：（1）证明：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M， 根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°， ∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°。 ∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC。 ∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线。 （2）由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC。 ∵AC∥BD，∴OC⊥BD。 ∵DB= ，∴由垂径定理可知，MD=MB= BD= ． 在Rt△OBM中，∠COB=60°， ， 在△CDM与△OBM中， ∵ ，∴△CDM≌△OBM（ASA）。∴S △ CDM =S △ OBM 。 ∴阴影部分的面积 。

（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可； （2）如解答图所示，解题关键是证明△CDM≌△OBM，进行等积转换，得到S 阴影 =S 扇形BOC 。