Question

设F1，F2为双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当|PF1|2|PF2|最小值为8a

设F1，F2为双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当|PF1|2|PF2|最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是______．

Answer 1

由定义知：|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴|PF₂|=2a+|PF₁|，
∴

|PF2|2

|PF1|

＝

(2a+|PF1|)2

|PF1|

=

4a2

|PF1|

+4a+|PF1| ≥8a．
当且仅当

4a2

|PF1|

＝|PF1|，即||PF₁|=2a时取得等号．
设P（x₀，y₀），（x₀≤-a）
依焦半径公式得：|PF₁|=-e×x₀-a=2a，
∴e?x0＝?3a，∴e＝?

3a

x0

≤3
又∵e＞1，故e∈（1，3]
答案：（1，3]．