Question

已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一

已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）的定义域是R，f′（x）=3x²-6ax+3，
当a=2时，f′（x）=3x²-12x+3=3（x²-4x+1），令f′（x）＞0，可得x²-4x+1＞0
解得：x＜2?

3

或x＞2+

3

∴f（x）的单调增区间是(?∞，2?

3

)和(2+

3

，+∞)；
（2）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

(x+

1

x

)，
令g（x）=

1

2

(x+

1

x

)，求导函数可得g′（x）=

1

2

(1?

1

x2

)
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴

5

4

＜

1

2

(x+

1

x

)＜

5

3

，
∴

5

4

＜a＜

5

3

，此时满足△＞0，
故a的取值范围是

5

4

＜a＜

5

3

．