Question

已知函数f(x)＝ax3?32x2+1(x∈R)，其中a＞0．（1）、若x=1是y=f（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（

已知函数f(x)＝ax3?32x2+1(x∈R)，其中a＞0．（1）、若x=1是y=f（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）、若曲线y=f（x）与x轴有3个不同交点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f(x)＝ax3?

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3ax²-3x，
∵x=1是y=f（x）的一个极值点，∴f′（1）=3a-3=0，∴a=1，
∴f(x)＝x3?

3

2

x2+1(x∈R)，f′（x）=3x²-3x，
∴f（2）=2³-

3

2

×2²+1=3，f′（2）=3×2²-3×2=6，
∴在点（2，3）处的切线方程为y-3=6（x-2），即6x-y-9=0；
（2）设f′（x）=3ax²-3x＜0，则0＜x＜

1

a

，
设f′（x）=3ax²-3x＞0，则x＜0或x＞

1

a

，
故y=f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（-∞，0）∪（

1

a

，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，f（x）有极大值为1，当x=

1

a

时，f（x）有极小值为1-

1

2a2

，
要使图象与x轴有3个不同交点，则1-

1

2a2

＜0，∴0＜a＜

2

2

．