Question

已知数列{an}中，a1=1，nan+1=2（a1+a2+..+an）（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{an}的通项an

已知数列{an}中，a1=1，nan+1=2（a1+a2+..+an）（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{an}的通项an；（3）设数列{bn}满足b1=12，bn+1=1akbn2+bn，求证：bn＜1（n≤k）．

Answer 1

（1）a₂=2，a₃=3，a₄=4
（2）na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）①
（n-1）a_n=2（a₁+a₂+…+a_n-1）②，
①-②得：na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，即：na_n+1=（n+1）a_n，

an+1

an

=

n+1

n

所以a_n=a₁?

a2

a1

?

a3

a2

…

an

an?1

=1?

2

1

?

3

2

…?

n

n?1

=n（n≥2），所以a_n=n（n∈N^*）
（3）由（2）得：b₁=

1

2

，b_n+1=

1

k

b_n²+b_n＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0，
所以{b_n}是单调递增数列，故要证：b_n＜1（n≤k）只需证b_k＜1
若k=1，则b₁=

1

2

＜1，显然成立；若k≥2，则b_n+1=

1

k

b_n²+b_n＜

1

k

b_nb_n+1+b_n
所以

1

bn+1

-

1

bn

＞-

1

k

，因此：

1

bk

=（

1

bk

-

1

bk?1

）+…+（

1

b2

-

1

b1

）+

1

b1

＞-

k?1

k

+2=

k

k+1

所以b_k＜

k

k+1

＜1，
所以b_n＜1（n≤k）