Question

“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一？”（完

“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别3和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： x+y= 4 3 xy=1 ，消去y化简得：3x 2 -4x+3=0∵b 2 -4ac=16-36=-20＜0∴故方程______．∴满足要求的矩形B______（填不存在或存在）．若已知矩形A的边长分别为10和1，请仿照小明的方法研究是否存在满足要求的矩形B．若存在，求矩形B的长和宽，若不存在，说明理由．（2）如果矩形A的边长为a和b，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？并求此时矩形B的长．

Answer 1

（1）无解；不存在．…（2分）； 设长是x，宽是y， x+y= 11 3 xy= 10 3 ， x=2 y= 5 3 ， 存在矩形B，它的长为2，宽为 5 3 …（6分） （2）设此时矩形B的长是x，宽是y， x+y= a+b 3 xy= ab 3 ， 当a 2 +b 2 ≥10ab时，矩形B存在，…（11分） 此时它的长 a+b+ a 2 + b 2 -10ab 6 ，…（13分）