Question

探索一个问题： “任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的

探索一个问题： “任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（阅读（1）完成后面的问题） 1） ．当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是， 由题意得方程组： ， 消去y化简得： ∵△=49-48>0 ∴ ∴满足要求的矩形B存在； 2）．如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B． 3）．对上述（2）中问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决．小明论证的过程开始是这样的：如果用x、y分别表示矩形的长和宽，那么矩形B满足x+y= ，xy=1．请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程． 4）．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题： ①．这个图象所研究的矩形A的两边长为___ __和__ ___； ②．满足条件的矩形B的两边长为___ __和___ __．

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Answer 1

解：2）设矩形B的两边分别是，由题意得方程组：                 消去y得：        ∴  矩形B不存在  3）图略。分别作出y=-x+  及y= 的图象，因为两图象没有交点，说明满足条件的矩形B不存在。 4）①1 、8       ②

Answer 2

　　设矩形A面积为S，周长为2*L，矩形长为X,宽度为Y,则：
　　XY=S (1)
　　2*(X+Y)=2*L (2)
　　由（2）可得：
　　X=L-Y (3)
由（1）和（3）可得：
　　（L-Y)*Y=S

　　LY-Y²=S
这是一元二次方程，Y最多有两个根，不可能超过两个根。
而我们知道，矩形的长宽互换时面积和周长是不变的，而其实仍然是同一个矩形。
故Y的两个根其实就是矩形A的长度和宽度。
当Y=长度时，X=宽度。
当Y=宽度时，X=长度。
故不存在这样的矩形B，和矩形A的周长和面积相等。