Question

选修4-5：不等式选讲．设函数f（x）=2|x-1|+|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f（x

选修4-5：不等式选讲．设函数f（x）=2|x-1|+|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）= -3x  (x≤-2) -x+4 ，(-2＜x≤1) 3x ，(x＞1) ，令-x+4=4 或 3x=4， 得x=0，x= 4 3 ，所以，不等式 f（x）≥4的解集是{x|x≤0，或x≥ 4 3 }． （Ⅱ）f（x）在（-∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f（x）≥f（1）=3， 由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，所以，|m-2|＞3， 解之，m＜-1或m＞5，即实数m的取值范围是：（-∞，-1）∪（5，+∞）．