Question

选修4-5：不等式选讲设函数，f（x）=|x-1|+|x-2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=a2+2a2+1成立，求

选修4-5：不等式选讲设函数，f（x）=|x-1|+|x-2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=a2+2a2+1成立，求x的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：
f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1  …（5分）
（Ⅱ）∵

a2+2

a2+1

=

a2+1+1

a2+1

=

a2+1

+

1

a2+1

≥2，
∴要使f（x）=

a2+2

a2+1

成立，需且只需|x-1|+|x-2|≥2，
即

x＜1 1-x+2-x≥2

，或

1≤x＜2 x-1+2-x≥2

，或

x≥2 x-1+x-2≥2

，
解得x≤

1

2

，或x≥

5

2

．
故x的取值范围是（-∞，

1

2

]∪[

5

2

，+∞）．…（10分）