Question

如图10所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，线能承受的最大拉力是9mg，细线的另一端固定在A点，AB是

如图10所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，线能承受的最大拉力是9mg，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，现将小球拉直水平，然后由静止释放，小球在运动过程中，不计细线与钉子碰撞时的能量损失，不考虑小球与细线间的碰撞． （1）若钉铁钉位置在E点，求细线与钉子碰撞前后瞬间，细线的拉力分别是多少？（2）若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，求钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值。

Answer 1

（1） ， （2）  ≤x≤

试题分析：（1）小球释放后沿圆周运动，运动过程中机械能守恒，设运动到最低点速度为v，由机械能守恒定律得 ，碰钉子瞬间前后小球运动的速率不变，碰钉子前瞬间圆周运动半径为l，碰钉子前瞬间线的拉力为F 1 ，碰钉子后瞬间圆周运动半径为l/2，碰钉子后瞬间线的拉力为F 2 ，由圆周运动、牛顿第二定律得： ， 得 ， （2）设在D点绳刚好承受最大拉力，记DE=x 1 ，则：AD= 悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r 1 =l－AD= l－ 当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v 1 ，由牛顿第二定律有：F－mg= 结合F≤9mg  由机械能守恒定律得：mg ( +r 1 )= mv 1 2 由上式联立解得：x 1 ≤ 随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大．转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了． 设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x 2 ， 则：AG=   r 2 =l－AG= l－ 在最高点：mg≤ 由机械能守恒定律得：mg ( —r 2 )= mv 2 2 联立得：x 2 ≥ 钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围是：  ≤x≤