已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且FA?OA＝16．（Ⅰ）求
已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且FA?OA＝16．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C...
已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且FA?OA＝16．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC．
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解答：（Ⅰ）解：由题设抛物线的方程为：y2=2px（p＞0），
则点F的坐标为(
，0)，点A的一个坐标为(2，2
)，（2分）
∵
?
＝16，∴(2?
，2
)(2，2
)＝0，（4分）
∴4-p+4p=16，∴p=4，∴y2=8x．（6分）
（Ⅱ）证明：设B、C两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8．
方程组
得y2-8ky-64=0，y1+y2=8k，y1?y2=-64
∵
＝(x1，y1)，
＝(x2，y2)，
∴
?
＝x1x2+y1y2＝(ky1+8)(ky1+8)+y1y2=（k2+1）y1y2+8ky（y1+y2）+64=0，
∴OB⊥OC．（12分）
法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，-8），
即
＝(8，8)，
＝(8，?8)，有
?
＝64?64＝0，∴OB⊥OC．…（8分）
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-8）．
方程组
得k2x2-（16k2+8）x+64k2=0，ky2-8y-64k=0．
∴x1x2=64，y1y2=-64，（10分）
∵
＝(x1，y1)，
＝(x2，y2)，
∴
?
则点F的坐标为(
| p |
| 2 |
| p |
∵
| FA |
| OA |
| p |
| 2 |
| p |
| p |
∴4-p+4p=16，∴p=4，∴y2=8x．（6分）
（Ⅱ）证明：设B、C两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8．
方程组
|
∵
| OB |
| OC |
∴
| OB |
| OC |
∴OB⊥OC．（12分）
法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，-8），
即
| OB |
| OC |
| OB |
| OC |
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-8）．
方程组
|
∴x1x2=64，y1y2=-64，（10分）
∵
| OB |
| OC |
∴
| OB |
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