Question

双曲线问题

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),点(-1,0)与(1,0)到直线x/a-y/b=1的距离之和s=0.8c(2c为焦距）.求离心率e的范围

Answer 1

点(s,t)到直线ax+by+c=0的距离公式为
|as+bt+c|/√(a^2+b^2)
由此，得到a、b之间的关系：
b(|a+1|+|a-1|)=(4/5)(a^2+b^2)
转化为关于e的条件：
当a>=1，2√(e^2-1) = (4/5) e^2；
当a<1，2√(e^2-1) = (4/5) a e^2。
第一种情形下，解得e=√5或(1/2)√5；第二种情形下，解得
e=10/[5±√(25-16a^2)]
从而1<e<(1/2)√5或者e>√5。
综合起来，范围是(1,(1/2)√5]∪[√5,∽)