Question

初二数学题。谢谢！

如图所示，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC。
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？

Answer 1

(1)AB=DE,∠A=∠D,而AF=DC,故AC=DF(AF和DC同加上CF)
∴Δ ABE ≌ΔDEF
∴BE=FE.
又∠BCF=∠EFD
BC//EF,
既然BE和EF平行且相等,故BCEF为平行四边形

（2）如BCEF是菱形,则必BE⊥AD,BC=BF,设BE与AD的交点为H,
已知AB=4,BC=3,由勾股定理,AC=5
令CH=h,HC=FH=m,则AH=5-m,AF=5-2m.
根据勾股定理,有：
BC²=BH²+CH²,9=h²+m²
AB²=AH²+BH²,16=h²+(5-m)²
由上两式立即可得：m=9/5,AF=5-2*9/5=7/5

Answer 2

(1)证明：因为AB=DE
角A=角D
AF=DC
所以三角形ABF和三角形DEC全等（SAS)
所以BF=EC
角AFB=角DCE
因为角AFB+角BFC=180度
角DCE+角ECF=180度
所以角BFC=角ECF
所以BF平行EC
所以四边形BCEF是平行四边形
（2）当AF=7/5时，四边形BCEF是菱形
解：链接BE交AC于O
因为角ABC=90度
所以三角形ABC是直角三角形
所以AC^2=AB^2+BC^2
因为AB=4 BC=3
所以AC=5
因为四边形BCEF是菱形
所以OC=OF=1/2CF
角BOC=90度
所以角ABC=角BOC=90度
因为角ACB=角ACB
所以三角形BOC和三角形ABC相似（AA)
所以BC/OC=AC/OC
所以OC=9/5
CF=18/5
因为AF+CF=AC=5
所以AF=7/5
所以当AF=7/5时，四边形BCEF是菱形

Answer 3

1:)∵AB=DE ∠A=∠D AF=CD∴△BAF≌△EDC(SAS)∴FB=EC ∠AFB=∠DCE ∴∠BFC=∠ECF∴BF∥EC∴平行四边形BGEC（2）∵∠ABC=90°AB=4 BC=3∴AC=5（勾股定理）∴当AF=5/2时，AF=FC∴F为AC的中点∴BF=BC∴◇BFEC