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已知f(x)连续,是什么意思
原题为已知f(x)连续,满足f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)=kx如果能把原题证出来就更好啦...
原题为 已知f(x)连续,满足f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)=kx
如果能把原题证出来就更好啦 展开
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5个回答
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证明,由于是连续的
f(x+dx)=f(x)+f(dx)
(f(x+dx)-f(x))=f(dx)
(f(x+dx)-f(x))/dx)=f(dx)/dx
当dx->0时有对任意x满足
f'(x)=f'(0)=k
f(x)=kx+b
f(x+y)=f(x)+f(y)
k(x+y)+b=k(x+y)+2b
b=0
f(x)=kx
f(x+dx)=f(x)+f(dx)
(f(x+dx)-f(x))=f(dx)
(f(x+dx)-f(x))/dx)=f(dx)/dx
当dx->0时有对任意x满足
f'(x)=f'(0)=k
f(x)=kx+b
f(x+y)=f(x)+f(y)
k(x+y)+b=k(x+y)+2b
b=0
f(x)=kx
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图像中反应的是,无断点,即,在x有范围时,都有与之对应的值
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当y=f(x)=kx时,f(x+y)=f(x+kx)=f[(1+k)x]=k[(1+k)x]=kx+k²x=f(x)+f(kx)=f(x)+f(y).
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函数连续性的定义有很多种说法,在这里就不去细究了。简单地讲,就是一个函数如果在某个区间
内连续,则其在该区间内的图像是一条没有间隙的连续曲线。
证明:当y=f(x)=kx时,f(x+y)=f(x+kx)=f[(1+k)x]=k[(1+k)x]=kx+k²x=f(x)+f(kx)=f(x)+f(y).
即f(x)=kx时,必满足f(x+y)=f(x)+f(y);
至于满足f(x+y)=f(x)+f(y)是不是只有y=f(x)=kx这一种情况,恐怕就不一定了。
内连续,则其在该区间内的图像是一条没有间隙的连续曲线。
证明:当y=f(x)=kx时,f(x+y)=f(x+kx)=f[(1+k)x]=k[(1+k)x]=kx+k²x=f(x)+f(kx)=f(x)+f(y).
即f(x)=kx时,必满足f(x+y)=f(x)+f(y);
至于满足f(x+y)=f(x)+f(y)是不是只有y=f(x)=kx这一种情况,恐怕就不一定了。
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