Question

求大神帮忙证明一下这道数学分析证明题！谢谢！（用数列极限的定义证明）

Answer 1

令 t = n^(1/n) - 1 ，由 n^(1/n) > 1 ，可得：t > 0 ；
则有：n = (1+t)^n = 1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n > n(n+1)t^2/2 ，
可得：t^2 < 2/(n+1) ；
所以，0 < t < √[2/(n+1)] ，
即有：0 < n^(1/n) - 1 < √[2/(n+1)]
只要： √[2/(n+1)]<ε或n>2/ε^2
所以：取N=[2/ε^2],则当n>N时
n^(1/n)-1<ε
limn^(1/n)=1

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但题目中根号下是n的k次方、而不是n

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奥，令 t = (kn)^(1/n) - 1就好了，证明类似

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问题就是有了k次就不知道怎么用二项式定理证明了，大神能写一下详细的证明步骤吗？

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n=(1+t)^n /k=( 1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n )/k> n(n+1)t^2/2 k
t^2 N时n^(1/n)-1<ε

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。。。是n^k，不是nk。。。

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奥，我眼瞎了
n^(k/n)=[n^(1/n)]^k
不是有条性质lim（a^k）=(lima)^k

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这不一定吧，比如说数列a就是一列常数列an=-1，那你所说的性质就不满足吧

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怎么不满足了，这个性质是书上的
设y=f[g(x)]。。。。limg(x)=u0(x→x0),y=f(u)在u=u0连续
limf[g(x)](x→x0)=limf(u)(u→u0)=f(u0)

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噢噢，我还没学到函数的连续性……我们老师上课提示说用二项式定理证，也就是说，比如n次根号下是常数，那么用“大于1+二项式展开式的一次项”放大；根号下是n的一次方，用“大于1+二项式展开式的二次项”放大；根号下是n的二次方，用“大于1+二项式展开式的三次项”放大；以此类推，根号下是n的k次方，用“大于1+二项式展开式的k+1次项”放大……要求用这种方法证（因为我们还没教到函数的连续性嘛……）真的是麻烦你了……

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令n^k/n=1+t>0
n=（1+t）^n/k=1+n/kt+(n/k)(n/k-1)/2y^2+....>1+(n/k)(n/k-1)/2y^2
n^k/n-1=t0，取N=[2k^2/ε^2],当n>N时
|n^k/n-1|<√(2k/m)<ε