Question

简单函数问题$$

已知函数f（x）的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1乘以x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）＝1
（1） 求证 f（x）是偶函数
（2） f（x）在（0，正无穷）上是增函数
（3） 解不等式f（2x＾2－1）＜2 注：＾2表示平方

Answer 1

f(x1*x2)=f(x1)+f(x2) 式(1)
1、令x1=1,x2=1,代入式(1)，=>f(1)=0, 再令x1=-1,x2=-1,代入式(1)，=>f(-1)=0,
令x1=x,x2=-1,代入式(1)，=>f(-x)=f(x) => f（x）是偶函数
2、设0<x1<x2, 可知x2/x1 >1， f（x2）=f{x1*(x2/x1)}=f（x1）+f(x2/x1)
由"当x＞1时f（x）＞0"
可知f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
f（x）在（0，正无穷）上是增函数
3、f(2)=1, 可知f(4)=2
f（2x＾2－1）＜f(4)
由函数的单调区间和偶函数性质可得：
-4<2x＾2－1<4
解不等式即可

Answer 2

(1)由 f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)得
f(1)=f(1)+f(1) =>f(1)=0
f(1)=f((-1)*(-1))=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0 =>f(-1)=0
所以f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x) => f（x）是偶函数
(2)设x1>x2>0，那么x1/x2>1
f(x1/x2*x2)=f(x1/x2)+f(x2) =>f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)
又因为当x＞1时f（x）＞0,所以f(x1/x2)>0即f(x1)-f(x2)>0
证得 f（x）在（0，正无穷）上是增函数
(3)因为f（x）在（0，正无穷）上是增函数，f（x）是偶函数，所以f（x）在（负无穷，0）上是减函数
f(4)=f(2)+f(2)=2
f(-4)=f(4)=2
所以
0<2x＾2－1<4 => √2/2<x<√10/2，或-√10/2<x< -√2/2
或
-4<2x＾2－1<0 => -√2/2<x<√2/2
结果是：-√10/2<x<√10/2且x≠√2/2，x≠-√2/2