Question

已知函数f(x)=-sin^2x+sinx+a （1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围。 （2）若x∈R，有1≤f(x)≤17/4,

已知函数f(x)=-sin^2x+sinx+a （1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围。 （2）若x∈R，有1≤f(x)≤17/4,求a的取值范围

Answer 1

令t = sinx，则 f(x) = t^2 + t + a ， t的范围[-1,1]
(1) f(x) = 0 ， 即 t^2 + t +a = 0, 化简 (t + 1/2)^2 + a - 1/4 = 0, 当且仅当 t = -1/2， a = 1/4时，f(x)=0 成立。所以a = 1/4
(2) 1=<t^2+t+a<=17/4, 即 1=<(t+1/2)^2+a-1/4<=17/4 ，
a>=5/4-(t+1/2)^2
a<=18/4-(t+1/2)^2
当t=-1/2，即x=-pi/6 + k*pi 时，a有最小值5/4
当 t=1，即x=pi/2 + k*pi 时，a有最大值 9/4
所以a取值范围 [5/4, 9/4]