Question

求微分方程 y'+y=e的-x次方 的通解

Answer 1

∵y'=e^(x+y)

==>y'=e^x*e^y

==>e^(-y)dy=e^xdx

==>e^(-y)=c-e^x

(c是积分常数)

==>y=-ln|c-e^x|

∴原微分方程的通解是

y=-ln|c-e^x|

来源及发展

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

dy/dx+y=e^(-x) r+1=0 r=-1 设通解为:y=ce^(-x) 由于只有一个解,设特解为y=(ax+b)e^(-x) 代入原方程. ae^(-x)-(ax+b)e^(-x)+(ax+b)e^(-x)=e^(-x) a-(ax+b)+(ax+b)=1 a=1 特解为y=(x+b)e^(-x) 通解为:y=c1e^(-x)+(x+b)e^(-x)=(x+C)e^(-x)