Question

关于x的一元二次方程x^2-（k+1）x+1/4k^2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长

关于x的一元二次方程x^2-（k+1）x+1/4k^2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长

（1）求实数k的取值范围
（2）当矩形的对角线长为根号5时，求实数k的值

Answer 1

原题是:关于x的一元二次方程x²-(k+1)x+(1/4)k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长.
(1)求实数k的取值范围; (2)当矩形的对角线长为√5时,求实数k的值.
(1)方程x的两根是一个矩形两邻边的长
即方程x²-(k+1)x+(1/4)k²+1=0有2个正实数根,得:
{(k+1)²-4((1/4)k²+1)≥0 (注:有2个实根)
{k+1>0 (注:2实根的和为正)
{(1/4)k²+1>0 (注:2实根的积为正)
解得k≥3/ 2
所以 实数k的取值范围是 k≥3/2
(2)由(1)当k≥3/2时,设两正根为x1,x2
以x1,x2为邻边长的矩形的对角线长为√5

即x1²+x2²=5
而x1+x2=k+1且x1·x2=(1/4)k²+1
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1·x2
=(k+1)²-2((1/4)k²+1)
=(1/2)k²+2k-1
得(1/2)k²+2k-1=5 且 k≥3/2
即(k+6)(k-2)=0 且 k≥3/2
解得 k=2
所以求实数k=2

希望能帮到你！