Question

急求！！！！！！！！证明：设g(x)在x0处连续,则函数f(x)=|x-x0|g(x)在x0处可

急求！！！！！！！！证明：设g(x)在x0处连续,则函数f(x)=|x-x0|g(x)在x0处可导<=>g(x0)=0 万分感谢🙏🙏🙏

Answer 1

依题意，f(x0)=0

lim(x→x0+)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
=lim(x→x0+)f(x)/(x-x0)
=lim(x→x0+)|x-x0|g(x)/(x-x0)
=lim(x→x0+)g(x)
=g(x0)

lim(x→x0-)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
=lim(x→x0-)f(x)/(x-x0)
=lim(x→x0-)|x-x0|g(x)/(x-x0)
=-lim(x→x0-)g(x)
=-g(x0)

根据可导的定义，
f(x)在x0可导
＜=＞lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在
＜=＞lim(x→x0-)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x→x0+)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
＜=＞g(x0)=-g(x0)
＜=＞g(x0)=0

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