Question

一题幂级数的题

一题幂级数的题请详细解释一下，如图看不懂，谢谢

Answer 1

解：换个角度来“理解”【不用调整n的起始值】。设S(x)=∑x^n，n=1,2，……，∞。
显然，当丨x丨<1时，S(x)=∑x^n=x/(1-x)。两边对x求导，有∑nx^(n-1)=1/(1-x)²。两边同乘以x，再求导，有∑n²x^(n-1)=[x/(1-x)²]'=(1+x)/(1-x)³。
∴∑n²x^n=x(1+x)/(1-x)³。∴令x=2/3，∴∑n²(2/3)^n=30，∴∑n²(2/3)^(n-2)=30/4=15/2。
供参考。