Question

高等数学，红框里面怎么做？

高等数学，红框里面怎么做？红框里面是怎么得到的？

Answer 1

解：用的是待定系数法求出。详细过程是，设(x³+4x²+x)/[(x+2)²(x²+x+1)]=a/(x+2)+b /(x+2)²+(cx+d)/(x²+x+1)。
∴x³+4x²+x=a(x+2)(x²+x+1)+b(x²+x+1)+(cx+d)(x+2)²。令x=0、x=±1、x=-2，得系数方程组，解得a=1、b=2、c=0、d=-1。
∴(x³+4x²+x)/[(x+2)²(x²+x+1)]=1/(x+2)+2 /(x+2)²-1/(x²+x+1)。
供参考。

追问

请问分母x+2的平方，是如何化为x+2和x+2的平方的？

追答

对有理式f(x)/g(x)，一般是要在f(x) 的次数变成比g(x)的次数低时【即“有理真分式”】进行分解【如果次数高，先用“除法”变成低的】。
对有理真分式f(x)/g(x)的中的g(x)构成进行“因子”分析，确定其组成的“最简”有理真分式的分母。再用待定系数法法确定分子的系数。
本题中，分母“(x+2)²(x²+x+1)”有因子“x+2”、(x+2)²和(x²+x+1)，故，分解后其构成的“有理真分式”即由状如“a/(x+2)+b /(x+2)²+(cx+d)/(x²+x+1)”的形式。
供参考。