Question

抛物面z=x^2+y^2被平面X+Y+Z=1截成一个椭圆，求原点到该椭圆的最长距离和最短距离

Answer 1

不能消去z，得到一个关于x,y的圆的方程做！

因为消去z得到的关于x,y的圆的方程是椭圆在xy平面的投影，自然你用x,y的圆的方程所求的最长距离和最短距离
就不是
原点到这椭圆的最长距离和最短距离。
解：

以d记为原点到点(x,y,z)的距离，则：d^2=x^2+y^2+z^2。问题相当于求条件极值：

max
d^2
,
z=x^2+y^2
,x+y+z=1
.

作拉格朗日函数l=x^2+y^2+z^2+λ(x^2+y^2-z)+μ(x+y+z-1)
可求得方程组：

lx=2(λ+1)x+μ=0

①;

( lx表示对x求偏导)
；

ly=2(λ+1)y+μ=0

②;

( ly表示对x求偏导)；

lz=2z-λ+μ=0

③;

( lz表示对x求偏导)；

x^2+y^2-z=0

④;

x+y+z-1=0

⑤;
联立小曲λ，μ可解得：

x=y=(-1+√3)/2

;

z=2-√3
；

或者
x=y=(-1-√3)/2

;

z=2+√3
；
于是可求得：

dmax=√(9+5√3)

;

dmin=√(9-5√3)
。

Answer 2

【解析】z=x^2+y^2
x+y+z=1
椭圆方程为(x+1/2)^2+(y+1/2)^2=3/2
z=1-x-y
原点到这椭圆上点的距离r=根号{x^2+y^2+z^2}
极值点坐标满足dr/dx=0
dr/dx=[2x+2y*dy/dx+2z*dz/dx]/2r
=x+y*dy/dx+(1-x-y)*(-1-dy/dx)
=(2x+y-1)+(x+2y-1)*dy/dx
对椭圆方程求导2*(x+1/2)+2*(y+1/2)*dy/dx=0
dy/dx=-(2x+1)/(2y+1)
dr/dx=(2x+y-1)-(x+2y-1)*(2x+1)/(2y+1)
=(2x+2y-3)*(y-x)/(2y+1)
dr/dx=0,
=>
(2x+2y-3)*(y-x)=0
x=y=+(-)根号3/2-1/2
;
x+y=3/2>1（舍去）
r=根号{x^2+y^2+z^2}=根号{2x^2+4y^2}=根号{(11+(-)6*根号3)/2}
r(min)=根号{(11-6*根号3)/2}
r(max)=根号{(11+6*根号3)/2}=========答案满意的话别忘了采纳哦！